เทคนิคการคิดเลขเร็ว

เทคนิคการคิดเลขเร็ว

หลักการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ในระดับประถมศึกษา จะเริ่มจากรูปธรรม คือสิ่งที่เป็นรูปร่าง จับต้องได้แล้วพัฒนาไปสู่สิ่งที่นามธรรม ที่ต้องใช้ความนึกคิดหรือจินตนาการในการคิด หรือสรุปหาคำตอบจากปัญหาทางคณิตศาสตร์
เทคนิคการคิดเลขเร็ว เป็นหลักการคิดวิธีลัด ซึ่งเป็นขั้นสุดท้ายของวิธีการสรุปหาคำตอบ ทำให้คิดหาคำตอบได้รวดเร็วกว่าวิธีอื่น ก่อนใช้วิธีลัด ควรมีความเขจ้าใจวิธีคิดตามปกติก่อน
ความเร็วในการคิดมีประโยชน์อย่างไร ลองนึกง่ายๆ ในเวลาที่เท่ากันคนที่คิดเร็วกว่า จะมีปริมาณในการคิดหาคำตอบได้มากกว่าทำให้ได้คะแนนสูงกว่า คิดสร้างสรรค์ในสิ่งต่างๆ ได้มากกว่า ถึงอย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ เป็นวิขาทักษะ การฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอเป็นสิ่งสำคัญและจำเป็น นอกจากทำให้เกิดทักษะการคิดแล้วยังสามารถนำไปประยุกต์ในชีวิตประจำวันได้ด้วย
ลำดับขั้นการฝึกสำหรับนักเรียน
1. การฝึกพื้นฐาน ควรฝึกให้เกิดทักษะเบื้อต้นก่อน ไม่ควรมองข้ามว่าง่ายเกินไปที่ว่าง่ายเพราะคิด แบบไม่จำกัดเวลา ถ้าให้เวลาน้อยลงจะทำให้ยากขึ้น แบบฝึกคิดเลขเร็วนี้ ต้องให้เวลาตัวเอง ถ้าเห็นว่าง่านก็ให้เวลาน้อยลง ถ้าเห็นว่ายาก ให้เวลาการทำมากขึ้นตามความสามารถของแต่ละคน
2. การฝึกควรมีสมาธิ หาที่สงบเงียบแล้วจับเวลาหรือแข่งขันกับเพื่อน ตั้งใจทำให้เต็มความสามารถ และควรฝึกทุกวัน
3. ตรวจหาคำตอบด้วยตัวเอง ช่วยให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น ถูกหรือผิดไม่สำคัญ สำคัญว่าตั้งใจคิดหรือเปล่า ถ้ามีข้อผิด คิดผิดอย่างไร ทบทวนข้อผิดพลาดของตนเอง
4. บันทึกการฝึกฝน ควรบันทึกการฝึกฝนทุกครั้งเพื่อทราบพัฒนาการของตนเอง จะทำให้ทราบความก้าวหน้าและแข่งขันกับตัวเอง

ข้อมูลจาก http://www.mc41.com/more/more.html

ความเป็นมาของคณิตศาสตร์

ความเป็นมาของคณิตศาสตร์

ใครสร้างปิรามิดของอียิปส์ ทำไมปฎิทินของชาวมายาถึงได้มีความแม่นยำ ทำไมถึงส่งจรวดไปดวงจันทร์ได้ แล้วสิ่งเหล่านี้เกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์อย่างไร หรือวิชาคณิตศาสตร์มีไว้ทำไม และ มันคืออะไร ก่อนจะตอบคำถามเหล่านี้ได้ เราลองย้อนเวลากลับไปในอดีตหน่อยนะครับ
ลองจินตนาการว่าตัวเองไปอยู่ในยุค ที่ไม่มีไฟฟ้า ไม่มีรถ และยังไม่มีภาษาเขียนกันนะครับ เราสามารถมองเห็นดวงดาวทุกดวงได้ ในท้องฟ้ายามค่ำคืนที่สดใส มนุษย์ก็เริ่มที่จะสังเกต เริ่มนับการมองเห็นดวงจันทร์ โดยการขีดลงบนกระดูก และ หนึ่งขีดก็แทนการมองเห็นดวงจันทร์หนึ่งครั้ง ซึ่งมีหลักฐานของกระดูกเหล่านี้มีอายุอานามถึง 35,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช
การขีดเขียนนี้สามารถบ่งบอกจำนวนได้ แต่ไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าเป็นสิ่งของชนิดใดหรือ เป็นจำนวนของอะไร แต่มนุษย์จำเป็นที่ต้องสื่อสารอ้างถึงจำนวนของสิ่งต่างๆ และ บ่งบอกด้วยว่าเป็นสิ่งของชนิดใด ปัญหานี้บางชนเผ่าได้ใช้ก้อนดินเหนียว ปั้นเป็นรูปร่างต่างๆ เพื่อแทนของสิ่งนั้น
ก้อนดินเหนียวที่เก่าแก่ที่สุดก็มีอายุอยู่ในช่วง 8,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ไม่นานหลังจากที่มนุษย์เริ่มทำการเกษตรกรรม และ เริ่มมีความจำเป็นในการวางแผนการเพาะปลูก การกักตุนเมล็ดพันธุ์สำหรับการเพาะปลูกในอนาคต ในการวางแผนเหล่านี้ จำเป็นที่จะต้องรู้ปริมาณของที่มีเก็บไว้ด้วย ก้อนดินเหนียวเหล่านั้นจึงได้ถูกนำมาใช้
เวลาผ่านไปนับพันปี สังคมของมนุษย์เริ่มเจริญขึ้น พร้อมกับความซับซ้อนของสังคมของชนเผ่าสุเมอเรียน (Sumerians) จึงได้มีการพัฒนาเหรียญรูปแบบต่างๆ มาแทนดินเหนียว และ ในช่วงเวลาประมาณ 3,300 ถึง 3,250 ปีก่อนคริสต์ศักราช ได้มีการพัฒนาระบบตัวเลขขึ้น โดยใช้การขีดเส้นบนเหรียญ เพื่อบ่งบอกจำนวนปริมาณของๆ ที่เหรียญใช้แทน
หลังจากนั้น ประมาณ ช่วง 2,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ชาวอียิปส์ (Egyptians) ได้ใช้การสังเกตอย่างชาญฉลาด พัฒนา วิทยาศาสตร์ของ ตัวเลขขึ้นเช่นคุณสมบัติของ การบวก การลบ พร้อมกันนี้ยังได้พัฒนา ระบบเรขาคณิต (Geometry) เช่นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และ ที่สำคัญ ปิรามิด
ท่านฟาโรห์ก็ได้ใช้ความรุ่งเรือง ทางคณิตศาสตร์ของชาวอียิปส์ ในการสร้างสุสารปิรามิด เพื่อแสดงถึงอำนาจอันยิ่งใหญ่ของตนเอง
ประมาณปี 650 ปีก่อนคริสต์ศักราช ก็ได้มีนักคณิตศาสตร์ ชื่อ อาเมส (Ahmes) ได้บันทึกการคำนวณบวกลบเลข หรือ พีชคณิต (Arithmetic) ไว้ในกระดาษปาปิรุส ให้เราได้อ่านกัน ด้วยเหตุนี้ นายอาเมสจึงได้รับชื่อ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีการบันทึกผลงานเป็น คนแรกของโลก
เช่นเดียวกับกษัตริย์ของชาวมายา (Mayan) ที่อาศัยความสามารถอันเฉลียวฉลาด ทางคณิตศาสตร์ของนักบวช ในการแสดงอำนาจ และ บารมีให้ชนชาวมายาได้เกรงกลัวกัน การแสดงอำนาจนี้ รวมไปถึงการทำให้ท้องฟ้าตอนกลางวันมืดมิด กลางวันกลายเป็นกลางคืน หรือ การบอกช่วงที่ควรเริ่มทำการเพาะปลูก สิ่งเหล่านี้ทำได้ เพราะนักบวชชาวมายาได้ผลิตปฎิทินที่มีความแม่นยำสูง สามารถทำนายสุริยุปราคา และ เหตุการณ์ต่างๆ บนท้องฟ้าได้
ในช่วงปี 500 ปีก่อนคริสต์ศักราช ถึง ค.ศ. 300 ก็เป็นยุคของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก (Greek) วิชาเลขในช่วงนี้ก็ได้นำเอาตัวเลขที่มีอยู่ไปใช้ในการวัดความยาวของสิ่งต่างๆ ทุกคนคงจะรู้จักนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ ปิทากอรัส (Pythagoras) นะครับ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ท่านนี้ ได้วางรากฐานของวิชาคณิตศาสตร์ คือการพิสูจน์ ให้กับพวกเรา
ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อดังอีกท่าน ชื่อ ยุคลิก (Euclid) ซึ่งท่านเป็นคนที่วางรากฐานของคำว่า ทฤษฎี (Theorem) ให้กับพวกเรา แต่ชาวกรีกก็พบว่า สิ่งของบางสิ่งไม่ได้มีความยาวตรงตามตัวเลขที่มีอยู่ ซึ่งเป็นการค้นพบ เลขอตรรกยะ (Irrational Number) ตัวอย่างก็คงจะเป็น รากที่ 2 ของ 2 นะครับ โดยสรุป สำหรับชาวกรีกแล้ววิชาคณิตศาสตร์ เป็นวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับตัวเลข (Number) และ รูปร่าง (Shape)
วิชาคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนามาเรื่อยๆ จนกระทั่งช่วงเวลาประมาณกลางศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ชื่อ นิวตัน (Newton) และ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ ลีนิส (Leibniz) ต่างได้คิดค้นวิชา แคลคูลัส (Calculus) ขึ้นมา ซึ่งทำให้เราสามารถศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุต่างๆได้ ทำให้เราศึกษาการเปลี่ยนแปลง การไหลของน้ำ การตกของแอบเปิ้ลได้ และวิชาแคลคูลัสนี้ได้ถูกนำไปใช้ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของดวงดาวในวิชาฟิสิกส์ หลังจากยุคนี้นักคณิตศาสตร์ก็ศึกษาเกี่ยวกับตัวเลข รูปร่าง การเคลื่อนที่ (Motion) การเปลี่ยนแปลง (Change) และ อวกาศ (Space) ด้วยวิชาแคลคูลัสนี่เองที่ทำให้มนุษย์ สามารถส่งจรวดไปยังดวงจันทร์ได้ หรือ แม้กระทั่งการปล่อยให้ดาวเทียมลอยอยู่เหนือโลกได้
หลังจากยุคนี้ วิชาคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนแปลง และ พัฒนาไปอย่างรวดเร็วมาก และยิ่งมีคอมพิวเตอร์มาช่วยในการวิเคราะห์ ยิ่งทำให้ค้นพบสิ่งต่างๆที่ซับซ้อนเพิ่มขึ้นมากมาย
วิชาคณิตศาสตร์ที่เราได้เรียนยังเป็นเพียงส่วนหนึ่งเท่านั้น ซึ่งบางคนที่ไม่ถนัด ในวิชาเหล่านั้น อาจจะเกิดความกลัวในวิชาคณิตศาสตร์ไปเลยก็ได้ แต่ยังมีวิชาคณิตศาสตร์ที่สนุก ง่ายต่อการเข้าใจ และ มีประโยชน์อีกมากที่เรายังไม่เคยเห็น ไว้คราวหลังจะนำมาเสนอให้อ่านกัน แล้วจะได้รู้ว่าวิชาคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ และความสวยงามนั้นเป็นอย่างไรนะครับ ก่อนจากกันขอฝากคำถามให้คิดกันหน่อยนะครับ เราก็ได้เห็นแล้วว่า ตัวเลขจำนวนนับเกิดขึ้นได้อย่างไร อยากให้แสดงความคิดกันหน่อยนะครับว่า ตัวเลขลบเกิดขึ้นได้อย่างไร.


--------------------------------------------------------------------------------
ชื่อเรื่อง : ความเป็นมาของคณิตศาสตร์
กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
ผู้จัดทำ : วิชาการดอทคอม

จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะ

ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง

การหาจำนวนเฉพาะไม่ใช่เรื่องยาก หากจำนวนดังกล่าวยังอยู่ในวงจำนวนไม่เกินสองหลัก เช่น จำนวนเฉพาะห้าจำนวนต่อไปถัดจาก 2 คือ 3, 5, 7, 11 และ 13 ตามลำดับ จำนวนเฉพาะจำนวน ต่อไปถัดจาก 13 คือ 17 จำนวนเฉพาะจำนวนต่อไปถัดจาก 41คือ 43 เป็นต้น อย่างไรก็ดี เมื่อพิจารณาเส้นจำนวนจะเห็นได้ว่า การกระจายของจำนวนเฉพาะบนเส้นจำนวนนั้นไม่มีรูปแบบที่แน่นอน บางทีเราพบจำนวนเฉพาะที่เกาะกลุ่มกัน เช่น 2, 3, 5, 7 แต่บางครั้งเราก็พบจำนวนเฉพาะที่ทิ้งช่วงห่างกัน เช่น 61, 71 นักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหาวิธีการที่จะได้มาซึ่งข้อสรุปเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p และจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดไปบนเส้นจำนวนประมาณปลายเดือนมีนาคม 2546 นี้เอง Dan Goldston จาก San Jose State University and Cem Yalcin Yildrim จาก Bogazici University ประเทศตุรกี ได้นำเสนอบทพิสูจน์อันจะนำไปสู่คำตอบเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ และนำไปสู่การพิสูจน์ “Twin Prime Conjecture” ที่กล่าวไว้ว่า Twin Primes หรือ จำนวนเฉพาะคู่ที่มีผลต่างกันอยู่สองนั้นมีจำนวนมากมายไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ทั้งสองท่านได้นำเสนอผลงานดังกล่าว ณ สถาบันคณิตศาสตร์อเมริกัน (American Institute of Mathematics) การค้นพบดังกล่าวเป็นที่กล่าวขวัญกันอย่างมากในวงการคณิตศาสตร์หนึ่งเดือนถัดมา Andrew Granville จาก Universite de Montreal และ K. Soundararajan จาก the University of Michigan ได้พบจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ของ Goldston และ Yildrim ว่าพจน์ที่กำหนดให้เป็นค่าความคลาดเคลื่อน มีขนาดเดียวกับพจน์หลัก จึงทำให้บทพิสูจน์ดังกล่าวยังไม่ครบถ้วนสมบูรณ์อย่างไรก็ดี สิ่งที่ Goldston และ Yildrim ได้ค้นพบนั้นทำให้การพิสูจน์ Twin Primes Conjecture เข้าใกล้ความจริงมากขึ้น นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างหวังว่าในที่สุด Goldston และYildrim เอง หรือนักคณิตศาสตร์ท่านอื่น ๆ จะสามารถแก้ไขจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ดังกล่าว และสามารถพิชิต Twin Primes Conjecture ซึ่งมีอายุกว่าร้อยปีและยังไม่มีใครพิสูจน์ได้เสียที

นักคณิตศาสตร์โลก

อาร์คิมิดีส 'นักคณิตศาสตร์โลก

ผมขอนำเรื่องราวของผู้ที่เป็นนักศึกษาและนักคำนวณที่เก่งกาจ จนกระทั่งมีคนขนานนามให้เขาว่าเป็น “นักคณิตศาสตร์โลก” แม้ว่าช่วงเวลาที่เขาเกิดมานั้นเป็นช่วงก่อนคริสต์ศักราชเสียด้วยซ้ำไป ซึ่งหากจะเทียบกับประวัติศาสตร์ตลอดจนอุปนิสัยของคนไทยแล้ว แม้กระทั่งเมื่อ 200 กว่าปีที่แล้ว เรายังไม่ค่อยมีใครคิดอะไรใหม่ๆ
คงเป็นที่ประจักษ์แล้วว่า การที่โลกเราสามารถเจริญก้าวหน้าขึ้นมาได้เช่นทุกวันนี้ เป็นเพราะว่า เรามีนักวิทยาศาสตร์ที่ร่วมมือกันคิดค้นสารพัดสิ่ง ในโลกให้มนุษย์เราได้ใช้กัน
และถ้าหากโลกของเราขาดนักวิทยาศาสตร์ที่คอยประดิษฐ์และสร้างสรรค์นวัตกรรมใหม่ๆ ขึ้นมา เชื่อแน่ว่าเกวียนจะยังคงเป็นพาหนะหลักของมนุษย์เหมือนกับภาพที่ชินตาของผมตั้งแต่ในสมัยเด็กๆ และทุกสิ่งทุกอย่างที่ถูกประดิษฐ์ขึ้นมา ล้วนแล้วแต่ทำให้เราก้าวไปข้างหน้าอย่างไม่หยุดยั้ง
สังคมในอดีตมักจะเชื่อถือบุคคลที่เป็นผู้นำหรือ ผู้ปกครองชุมชน จนบางครั้งกลายมาเป็นการยึดติดตัวผู้นำสืบทอดมาจนถึงลูกหลานของผู้นำคนนั้น สิ่งนี้เป็นอดีตของมนุษย์ที่มักจะยึดติดกับตัวบุคคล จนในบางครั้งนั้นเข้าขั้น “งมงาย” การยึดติดอย่างไม่มีเหตุผลของคนในสมัยก่อนนั้นเกิดมาจากความเชื่อและความนับถือ นักวิทยาศาสตร์เกิดขึ้นมาเมื่อหลายพันปีแล้ว แต่ไม่ได้รับความนับถือและยอมรับจากประชาชนทั่วไป ซ้ำยังถูกมองว่าเป็นกลุ่มคนที่แหกคอก
แต่ในวันนี้ผมขอนำประวัตินักวิทยาศาสตร์ยุคแรกๆ ของโลกมาฝาก เพราะเขาเป็นคนคิดค้นหลักการคิดหลักการคำนวณใหม่ๆ ทางคณิตศาสตร์จนนำไปสู่การประดิษฐ์อุปกรณ์และเครื่องทุ่นแรงต่างๆ ขึ้นมา
เครื่องใช้เครื่องมือในสมัยก่อนของมนุษย์นั้น สร้างขึ้นตามความพอใจ เมื่อสร้างเสร็จแล้วจึงนำ มาใช้งาน หากใช้งานได้ดีก็จะใช้งานต่อไป แต่หากพบว่าอุปกรณ์หรือเครื่องไม้เครื่องมือที่สร้างขึ้นมานั้นไม่สามารถที่จะทุ่นแรงหรืออำนวยความสะดวกใดๆ ได้เลย อุปกรณ์นั้นก็จะถูกทิ้งไป และมีการ สร้างอุปกรณ์ใหม่ขึ้นมาทดแทน
สำหรับอาร์คิมิดีสเขาจะเริ่มวางแผนและคิดคำนวณอย่างมีหลักการและเป็นเหตุเป็นผล โดยใช้ตัวเลขในการคำนวณซึ่งถือว่าเป็นเรื่องที่ยากมากสำหรับคนในยุคนั้น แม้กระทั่งคนไทยในสมัยปัจจุบันนี้ ผมเชื่อแน่ว่าอาจไม่สามารถทำได้ แต่ เมื่อ 2,000 ปีที่แล้ว อาร์คิมิดีสนำเอาหลักการคำนวณทางคณิตศาสตร์มาคำนวณและออกแบบอุปกรณ์ต่างๆ ได้อย่างน่าทึ่ง สิ่งนี้เองที่ทำให้เขา ได้รับการยอมรับจากชาวโลกว่าเป็นบิดาแห่งนักคณิตศาสตร์ เนื่องจากเขาทำสิ่งของและอุปกรณ์ต่างๆ โดยเริ่มต้นจากการคิดคำนวณขึ้นมาบนกระดาษเสียก่อน แล้วนำมาลงมือทำจนได้ในสิ่งที่เขาต้องการ
ซึ่งจะว่าไปแล้วถือเป็นเรื่องมหัศจรรย์มากสำหรับคนในยุคสมัยนั้น เพราะเอาเข้าจริงๆ แล้ว แม้แต่คำว่าคณิตศาสตร์ยังไม่ค่อยจะมีใครรู้จักเลย อาจเรียกได้ว่าเขาเป็นผู้ที่วางรากฐานทางคณิตศาสตร์ให้กับโลกปัจจุบัน
ผมเรียนคณิตศาสตร์ไม่ค่อยเก่งนักขณะที่เป็นนักเรียนอยู่ แต่ก็อดคิดไม่ได้ว่าคณิตศาสตร์ช่าง เป็นเรื่องที่สุดแสนมหัศจรรย์ที่เราสามารถพิสูจน์ หาค่าความจริงได้ ซึ่งแตกต่างจากเรื่องอื่นๆ ที่ อาจเป็นเรื่องมหัศจรรย์เช่นเดียวกัน แต่ไม่มีทาง พิสูจน์ได้
อย่างเมื่อไม่นานมานี้เอง ผมได้มีโอกาสดู รายการโทรทัศน์รายการหนึ่ง ซึ่งตั้งหัวข้อสำหรับออกอากาศในคืนนั้นว่า โลกกับดวงจันทร์เคยเป็นดาวดวงเดียวกันมาก่อนหรือไม่ และได้มีนักวิทยาศาสตร์หลายคนนำเอาหลักการทางคณิตศาสตร์มาพิสูจน์จนสามารถได้คำตอบที่ชัดเจนว่า ในอดีต โลกกับดวงจันทร์นั้นคือดาวดวงเดียวกัน และดวงจันทร์ได้แยกตัวออกจากโลกในภายหลัง
การคำนวณทางด้านคณิตศาสตร์นั้น สามารถคำนวณได้ว่าการโคจรหมุนรอบตัวเองของดวงจันทร์ ในขณะที่โคจรรอบโลกไปด้วยนั้น จะมีระยะห่างจากโลกไปเรื่อยๆ ปีละ 1.5 นิ้ว นั่นก็หมายความว่า หากเราฉายภาพย้อนกลับ และให้ดวงจันทร์โคจรใกล้โลกเข้ามาเรื่อยๆ ครั้งละ 1.5 นิ้วใน 1 ปี จะเห็นได้ว่าดวงจันทร์อยู่ใกล้กับโลกมาก จนสันนิษฐานได้ว่าดวงจันทร์เป็นชิ้นส่วนหนึ่งของโลกที่หลุดลอยออกไปสู่ห้วงอวกาศ มิเช่นนั้นระยะห่างจากโลกกับดวงจันทร์คงไม่เปลี่ยนแปลงไปทุกปีเช่นนี้

ประวัติ
ตั้งแต่สมัยเด็กๆ อาร์คิมิดีส น่าจะได้รับการศึกษาในเมืองอเล็กซานเดรีย ของอียิปต์ เพราะที่นั่นเป็นศูนย์รวมของปราชญ์และวิทยาการทุกแขนง รวมทั้งมีห้องสมุดที่ใหญ่ที่สุดและดีที่สุดในโลก เพราะหากเรามามองดูแล้วจะพบว่าทั้งสฟิงก์และพีระมิดถือเป็นสิ่งก่อสร้างที่มหัศจรรย์และยิ่งใหญ่มาก แม้ในสมัยปัจจุบันจะมีเครื่องมืออำนวยความสะดวกที่ทันสมัย ผมยังไม่แน่ใจได้ว่าจะสามารถสร้างสฟิงก์และพีระมิดได้ยิ่งใหญ่เท่ากับที่มีมาก่อนหรือไม่ จนมีบางคนตั้งข้อสงสัยว่า เป็นการสร้างของมนุษย์ต่างดาว เพราะไม่เชื่อว่าคนในสมัยโบราณจะสามารถสร้างสิ่งก่อสร้างที่ยิ่งใหญ่อย่างนั้นได้
เมืองอเล็กซานเดรียถูกสร้างขึ้นโดย จักรพรรดิอเล็กซานเดอร์ เพื่อเป็นประตูเชื่อมระหว่างโลกตะวันออก ณ ที่นี้ มีโรงเรียนสอนวิทยาการต่างๆ มากมาย แต่เมื่อกองทัพของ จูเลียส ซีซาร์ บุกยึดเมืองได้ กองทัพโรมันได้จุดไฟเผาห้องสมุดของที่นี่ ทำให้เอกสาร ตำราและนวนิยายของปราชญ์โบราณหลายคน รวมทั้งข้อมูลประวัติศาสตร์หลายเรื่องต้องสูญสลายหายไป
แม้อยู่ไกลถึงเมืองไซราคิวส์ แต่อาร์คิมิดีสก็ยังเขียนจดหมายติดต่อกับนักวิชาการกรีกที่อเล็กซานเดรียตลอดเวลา และจากเอกสารนี้เองที่โลกได้รู้ในเวลาต่อมาว่า เขาคิดอะไรอยู่ และรู้อะไรบ้าง นักประวัติศาสตร์ชาวโรมันชื่อ พลูทาช บันทึกไว้ว่า การที่อาร์คิมิดีสมีความสามารถทางคณิตศาสตร์สูงมาก เพราะเป็นคนที่มีความมุ่งมั่นมาก เขาสามารถทุ่มเทความสนใจ ครุ่นคิดแก้ปัญหาเดียวได้เป็นเวลานาน จนทำให้ลืมการปฏิบัติภารกิจประจำวันเช่น กินข้าว หรืออาบน้ำ เป็นต้น
เวลามีปัญหาที่ต้องขบคิด เมื่อเห็นกองเศษ ขี้เถ้า อาร์คิมิดีสก็จะใช้ไม้ขีดเส้นกองขี้เถ้าให้เป็นรูปเรขาคณิต หรือเวลาคนใช้เอาน้ำมันทานวดตามตัว เขาจะใช้นิ้วขีดตามตัวที่ชุ่มด้วยน้ำมันเป็นแผนภาพต่างๆ เป็นต้น และเนื่องจากการที่บิดาของเขาเป็นพระญาติห่างๆ ของกษัตริย์เฮียรอน แห่งนคร ไซราคิวส์ และตัวอาร์คิมิดีสเองนับเป็นปราชญ์ ผู้มีความรู้มากในสมัยนั้น ดังนั้น กษัตริย์เฮียรอนจึงมักทรงขอคำแนะนำจากอาร์คิมิดีสในเรื่องต่างๆ
และมีครั้งหนึ่งที่กษัตริย์เฮียรอนได้มอบทองคำก้อนให้ช่างทองคำนำไปทำมงกุฎ และมีเสียงเล่าลือถึงพระกรรณของพระองค์ว่า ช่างทองคำได้แอบเติมตะกั่วในมงกุฎแล้วยักยอกทองคำส่วนหนึ่งไป กษัตริย์เฮียรอนจึงทรงขอให้อาร์คิมิดีสตรวจสอบมงกุฎว่าทำด้วยทองคำบริสุทธิ์หรือไม่ อาร์คิมิดีสได้ครุ่นคิดหาวิธีจับผิดช่างทองคำอยู่หลายวัน จนถึงวันหนึ่งขณะที่เขาอาบน้ำ ก็พบว่าเมื่อก้าวลงใน อ่างอาบน้ำที่มีน้ำเต็มถึงขอบอ่าง น้ำจะไหลล้นอ่างออกมา และถ้าเขาจุ่มลงไปทั้งตัว น้ำก็จะล้นออกมากยิ่งขึ้น
เหตุการณ์นี้ทำให้เขาพินิจพิเคราะห์เรื่องราวต่างๆ อย่างรอบคอบ จนทำให้อาร์คิมิดีสพบความจริงว่า ปริมาตรของน้ำที่ล้นออกมาจากอ่าง จะเท่ากับปริมาตรของสิ่งต่างๆ ที่เข้าไปแทนที่น้ำเสมอ
ดังนั้น อาร์คิมิดีสจึงได้ตั้งกฎว่า “ปริมาตรของวัตถุส่วนที่จมในของเหลว ย่อมเท่ากับปริมาตรของของเหลวที่ถูกวัตถุนั้นแทนที่”
อาร์คิมิดีสตื่นเต้นกับการค้นพบนี้มาก จนถึงกับลุกยืนแล้ววิ่งออกจากอ่างอาบน้ำไปตามถนนในเมืองไซราคิวส์โดยไม่ทันได้นุ่งผ้าใดๆ พร้อมกันนั้นเขาร้องตะโกนว่า “ยูเรกา” และคำว่ายูเรกานี้ก็ได้ดังกังวานมาเป็นเวลานานกว่า 2,000 ปีแล้ว เพราะทุกวันนี้เวลานักวิทยาศาสตร์ค้นพบอะไรที่ตื่นเต้น เขาก็จะประกาศว่ายูเรกาเช่นเดียวกันกับอาร์คิมิดีส
การรู้ปริมาตรของน้ำที่ล้นออกมา เมื่อเขาจุ่มมงกุฎทองคำบริสุทธิ์ และมงกุฎทองคำที่มีโลหะอื่นเจือปน ซึ่งมงกุฎทั้งสองมีน้ำหนักเท่ากัน แต่มี ปริมาตรไม่เท่ากันลงในน้ำ ทำให้อาร์คิมิดีสรู้ชัดว่ามงกุฎที่ช่างทองคำถวายกษัตริย์เฮียรอนนั้นมีโลหะอื่นเจืออยู่จริง
หลังจากนั้นอาร์คิมิดีสก็ศึกษาธรรมชาติของการจมและการลอยของวัตถุต่อ จนพบว่า เวลาวัตถุลอยน้ำนั้น จะดันแยกน้ำออกจากการลอยของวัตถุต่อ จนพบว่าเวลาวัตถุลอยน้ำ วัตถุนั้นจะดันน้ำแยกน้ำออกจากกันทำให้มีแรงดันขึ้น ถ้าวัตถุยิ่งดันแยกน้ำออกได้มากเพียงใด แรงดันขึ้นของน้ำก็จะมากเพียงนั้น การค้นพบนี้จึงสามารถอธิบายได้ว่า เหตุใดเรือที่มีน้ำหนักมาก และมี ปริมาตรมากจึงลอยน้ำได้ ทั้งนี้เพราะมันแทนที่ น้ำได้มากนั่นเอง
ผู้คนส่วนมากจดจำอาร์คิมิดีสได้ดีจากเรื่องที่เขาลงอ่างอาบน้ำ แล้วนำหลักการแทนที่น้ำไปใช้พิสูจน์มงกุฎของพระราชาเฮียรอนได้ และนั่นก็คือผลงานที่สำคัญชิ้นหนึ่งของเขา ภายหลังเรียกว่า หลักการอาร์คิมิดีส แต่ผลงานอีกชิ้นที่ใช้กันมา จนทุกวันนี้ก็คือ การสร้างระหัดวิดน้ำ หรือที่มีชื่อ เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “เกลียวของอาร์คิมิดีส (Archimedes Screw)” เป็นอุปกรณ์ช่วยผันน้ำขึ้นจากที่ต่ำ เพื่อใช้สำหรับวิดน้ำขึ้นมาจากบ่อหรือแม่น้ำ สำหรับใช้ในการอุปโภคหรือบริโภค ซึ่งทำ ให้เสียแรงและเวลาน้อยลงไปอย่างมาก
การที่อาร์คิมิดีสคิดสร้างระหัดวิดน้ำขึ้นมานั้น ก็เพราะเขาเห็นความลำบากของชาวเมืองในการนำน้ำขึ้นจากบ่อหรือแม่น้ำมาใช้ ซึ่งต้องใช้แรงและเสียเวลาอย่างมาก ระหัดวิดน้ำของอาร์คิมิดีสประกอบไปด้วยท่อทรงกระบอกขนาดใหญ่ ภายในเป็นแกนระหัด มีลักษณะคล้ายกับดอกสว่าน เมื่อต้องการใช้น้ำ ก็หมุนที่ด้ามจับระหัด น้ำก็จะไหลขึ้นมาตามเกลียวระหัดนั้น ซึ่งต่อมามีผู้ดัดแปลงนำ ไปใช้ประโยชน์ในด้านต่างๆ มากมาย เช่น การ ลำเลียงถ่านหินเข้าสู่เตา และนำขี้เถ้าออกจากเตา การบดเนื้อสัตว์ เป็นต้น
การแก้ปัญหามงกุฎทองคำครั้งนั้น ได้ทำให้ อาร์คิมิดีสได้พบกฎการลอยและจมของวัตถุ เขาได้แต่งตำราขึ้นมาเล่มหนึ่งชื่อ On Floating Bodies ในหนังสือเล่มนั้นเขาได้แถลงกฎการจมว่า ถ้าวัตถุจมในน้ำ น้ำที่ล้นออกมาจากอ่างจะมีปริมาตรเท่ากับวัตถุที่จมลงไปในน้ำเสมอ และกฎการลอยซึ่งมีใจความว่า ถ้าวัตถุลอยในน้ำ วัตถุจะหนักน้อยลง น้ำหนักของวัตถุที่หายไปจะเท่ากับน้ำหนักของน้ำที่มีปริมาตรเท่าวัตถุส่วนที่จมเสมอ เช่น ...
สมมติว่ามีวัตถุชิ้นหนึ่งลอยอยู่ในน้ำ โดยส่วนที่จมอยู่ใต้น้ำมีปริมาตร 1 ลูกบาศก์เมตร เพราะเหตุว่าน้ำ 1 ลูกบาศก์เมตรมีน้ำหนัก 1,000 กิโลกรัม กฎอาร์คิมิดีสบอกว่า น้ำหนักของวัตถุก้อนนั้นในน้ำก็จะลดลง 1,000 กิโลกรัมด้วยเช่นนี้ เป็นต้น
นอกจากวิทยาการด้านกลศาสตร์แล้ว อาร์คิมิดีสก็ยังมีผลงานด้านแสง วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์อีกด้วย โดยได้คิด ทฤษฎีของคาน ลูกรอก และระบบรอกที่มีรอกหลายตัว เขาได้เคยคิดว่า หากใครหาที่ให้เขายืนนอกโลกได้ เขาสามารถใช้คานยกโลกทั้งโลกได้ นอกจากนี้เขายังแสดงให้กษัตริย์เฮียรอนทรงเห็นอีกว่า เขาเพียงคนเดียวสามารถใช้ระบบลูกรอกที่เขาออกแบบ ดึง เรือที่บรรทุกผู้โดยสารเต็มลำให้เข้ามาจอดที่ท่าเรือได้อย่างสบายๆ
ความสามารถนี้ได้ทำให้กษัตริย์เฮียรอนทรงชื่นชมในตัวอาร์คิมิดีสมาก ดังนั้น เมื่อนายพล มาร์เซลลัส (Marcellus) แห่งโรม ยกกองทัพมาโจมตีเมืองไซราคิวส์ในปี พ.ศ. 331 กษัตริย์เฮียรอนจึงทรงขอร้องให้อาร์คิมิดีสทำหน้าที่ออกแบบอาวุธยุทโธปกรณ์เพื่อป้องกันไซราคิวส์ ซึ่งเขาก็ได้ออกแบบเครื่องยิงกระสุนขนาดใหญ่ถล่มกองทัพเรือโรมัน จนกองทัพทั้งกองต้องถอยห่างออกไปไกลโพ้นพิสัยของกระสุนหิน เมื่อไม่มีโอกาสจะบุกถึงกำแพงเมือง กองทหารโรมันยุคนั้นถึงกับคิดว่า กองทัพตนกำลังต่อสู้กับเทพเจ้าหรืออย่างไร เพราะเพียงแต่เห็นเชือกห้อยจากกำแพงเมือง ทหารโรมันต่างก็พากันวิ่งหนีแทบไม่คิดชีวิต เพราะคิดว่าตนกำลังถูกอาวุธของอาร์คิมิดีสทำร้าย
เมื่อต่อสู้กันตรงๆ ไม่ได้ กองทัพโรมันจึงใช้วิธีโอบล้อมไซราคิวส์เพื่อให้ชาวเมืองอดอาหารตาย แต่ก็เหมือนฟ้ากำหนด เพราะเมื่อถึงเทศกาลสรรเสริญเทพธิดา Diama ชาวเมืองไซราคิวส์ที่ได้พยายามต่อสู้กองทัพโรมันมานาน 3 ปี ได้ลืมตัว ดื่มสุรายาเมาจนลืมรักษาเมือง นายพลมาร์เซลลัสจึงได้โอกาสเข้าโจมตีอีกครั้ง และสามารถเข้าเมืองได้ในที่สุด จากนั้นนายพลมาร์เซลลัสก็ได้ให้ทหารค้นหาอาร์คิมิดีส เนื่องจากชื่นชมในความสามารถของเขาเป็นอย่างมาก
ในขณะที่ตามหาอาร์คิมิดีส ทหารได้พบกับ อาร์คิมิดีสกำลังใช้ปลายไม้ขีดเขียนบางอย่างอยู่บนพื้นทราย แต่ทหารผู้นั้นไม่รู้จักอาร์คิมิดีส เมื่อ ทหารเข้าไปถามหาอาร์คิมิดีส เขากลับตวาด ทำให้ทะเลาะวิวาทกัน ทหารผู้นั้นใช้ดาบแทงอาร์คิมิดีสจนเสียชีวิต เมื่อนายพลอาร์เซลลัสทราบเรื่องก็ เสียใจเป็นอย่างมากที่ต้องสูญเสียนักปราชญ์ที่มี ความสามารถอย่างอาร์คิมิดีสไป
ดังนั้น เขาจึงรับอุปการะครอบครัวของ อาร์คิมิดีสและสร้างอนุสาวรีย์เพื่อให้ระลึกถึงความสามารถของอาร์คิมิดีส อนุสาวรีย์แห่งนี้มีลักษณะรูปทรงกลมอยู่ในทรงกระบอก จากผลงานการประดิษฐ์เครื่องกลผ่อนแรงของอาร์คิมิดีสถือได้ว่าเขาเป็นผู้ให้กำเนิดวิชากลศาสตร์ ซึ่งเป็นวิชาที่มีประโยชน์อย่างมหาศาลทั้งในอดีตและปัจจุบัน
เขาตายขณะที่อยู่ในโลกคณิตศาสตร์ที่เขารักยิ่งชีวิต มรดกสำคัญที่อาร์คิมิดีสได้ทิ้งให้แก่โลกคือ คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และตำราหลายเล่ม แต่เมื่อเวลาผ่านไปนานร่วม 2,000 ปี ใครๆ ก็ พากันคิดว่า โอกาสที่จะเห็นต้นฉบับหนังสือที่เขานั้นมีน้อยเต็มที แต่เมื่อไม่กี่ปีมานี้ มีการจัดแสดงต้นฉบับที่ พิพิธภัณฑ์แห่งหนึ่งในสหรัฐอเมริกา
อาร์คิมิดีสขึ้นชื่อว่าเป็นบิดาแห่งกลศาสตร์ที่ แท้จริง เนื่องจากสิ่งประดิษฐ์ของเขามักจะเป็นเครื่องผ่อนแรงที่มีประโยชน์และใช้กันมาจนถึงปัจจุบันนี้
นอกจากนี้อาร์คิมิดีสได้ประดิษฐ์เครื่องผ่อนแรงขึ้นอีกหลายชิ้น เพื่อสร้างความสะดวกสบาย ให้กับชาวเมือง ได้แก่ คานดีดคานงัด (Law of Lever) ใช้สำหรับในการยกของที่มีน้ำหนักมาก นอกจากนี้เขายังได้ประดิษฐ์รอกซึ่งเป็นเครื่องกลสำหรับยกของหนักอีกชนิดหนึ่ง เครื่องกลผ่อนแรงทั้ง 2 ชนิดนี้อาร์คิมิดีสคิดค้นเพื่อกะลาสีเรือหลวงที่ต้องยกของหนักเป็นจำนวนมากในแต่ละวัน รวมถึงรอกพวง ใช้สำหรับเคลื่อนย้ายของที่มีขนาดใหญ่และน้ำหนักมาก เช่น ก้อนหิน เป็นต้น
เขายังมีความชำนาญเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เขาสามารถคำนวณหาพื้นที่หน้าตัดของทรงกรวย ทรงกลม และทรงกระบอกได้ โดยใช้สูตรทาง คณิตศาสตร์ที่เขาเป็นคนคิดค้นขึ้น อาวุธอีกชนิดหนึ่งที่เขาประดิษฐ์ขึ้น คือ โลหะขัดเงามีลักษณะ คล้ายกระจกเว้าสะท้อนแสงให้มีจุดรวมความร้อนที่สามารถทำให้เรือของกองทัพโรมันไหม้ไฟได้ นอกจากนี้ยังมีเครื่องกลอีกชนิดหนึ่งมีลักษณะคล้ายกับตอร์ปิโดในปัจจุบัน เรียกว่า “เครื่องกล ส่งท่อนไม้” ซึ่งใช้ส่งท่อนไม้ขนาดใหญ่ด้วยกำลังแรงให้แล่นไปในน้ำ เพื่อทำลายเรือข้าศึก กองทัพโรมันใช้เวลานานถึง 3 ปี กว่าจะยึดเมืองไซราคิวส์ได้สำเร็จ แต่มิได้แพ้เพราะกำลังหรือสติปัญญา แต่แพ้เนื่องจากความประมาท
เขาเป็นผู้บุกเบิกวิธีคำนวณหาพื้นที่และปริมาตรของวัตถุต่างๆ ด้วยเทคนิคที่อาร์คิมิดีสใช้นี้ คือ เทคนิคพื้นฐานที่นิวตัน (Newton) จะใช้ในสร้างวิชาแคลคูคัส (calculus) ในอีก 1,800 ปีต่อมา แต่ในขณะที่อาร์คิมิดีสพบขั้นตอนพื้นฐานของวิชาแคลคูลัส ทฤษฎีของเขาไม่ได้รับความสนใจจากคนทั่วไป เพราะเหตุว่ายุคนั้นไม่มีนักคณิตศาสตร์ คนใดสามารถสืบทอดความคิดของอาร์คิมิดีสได้ ความคิดของอาร์คิมิดีสจึงไม่มีประโยชน์ใดๆ จน อีก 1,800 ปี นิวตันจึงได้ใช้ความรู้นั้นสร้างวิชาแคลคูลัสขึ้นมา
น่าเสียดายว่าเขาได้เขียนตำราไว้มาก แต่หลงเหลือต่อมาเพียงส่วนน้อยเท่านั้น ผลงานของเขาเริ่มปรากฏแพร่หลายเมื่อคริสต์ศตวรรษที่ 16-17 และสะท้อนอยู่ในผลงานของนักปราชญ์ผู้มีชื่อเสียงหลายท่าน เช่น เคปเลอร์ และกาลิเลโอ แม้กระทั้งในสมัยหลัง ยังคงมีอิทธิพลต่อนักคณิตศาสตร์หลายคนจึงนับได้ว่าอาร์คิมิดีสมีส่วนอย่างมากในการปูพื้นความรู้ทางคณิตศาสตร์แก่โลกยุคใหม่
แม้เขาจะเกิดมาในยุคสมัยที่คนส่วนใหญ่ยังเชื่อถือในเรื่องลี้ลับและสิ่งงมงาย รวมไปถึงอำนาจของพระเจ้าที่มองไม่เห็น อย่างไรก็ตาม เขาก็ได้พิสูจน์ให้ทุกคนเห็นแล้วว่า การคิดอย่างมีหลักการสามารถนำไปสู่ความสำเร็จได้ และสิ่งต่างๆ ที่เขาคิดขึ้นมานั้น ล้วนมีประโยชน์กับมวลมนุษยชาติ ตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบัน เพราะด้วยหลักการของเขานั่นเองที่นักวิทยาศาสตร์ในโลกปัจจุบันได้นำมาประยุกต์ใช้เพื่อสร้างสรรค์สิ่งประดิษฐ์ใหม่ๆ เพื่ออำนวยความสะดวกให้กับมนุษย์
ผมเชื่อแน่ว่าหากเราขาดนักคณิตศาสตร์ผู้ชาญฉลาดและยิ่งใหญ่อย่างอาร์คิมิดีสไป โลกของเราคงไม่สามารถก้าวมาได้อย่างเช่นที่เป็นอยู่ในทุกวันนี้

จากหนังสือพิมพิ์ Post Today.com
ฉบับวันที่ 6 เมษายน 2551

ครูคณิตศาสตร์ในทรรศนะของเด็กคนหนึ่ง
แคโรไลน์ตอบคำถามที่แม่ของเธอถามเกี่ยวกับเจตคติ ในการเรียนคณิตศาสตร์ ของเธอที่เปลี่ยนไป ข้อความข้างล่างนี้คือคำตอบ ฉันกำลังเรียนอยู่ชั้นปีที่ 8 (ราวๆ ม.2) จัดอยู่ในกลุ่มเรียนดี ปีนี้ได้ครูคณิตศาสตร์คนใหม่ คนละคนกับที่สอนฉันเมื่อชั้นปีที่ 7 เมื่อฉันอยู่ชั้นปีที่ 7 ฉันชอบเรียนคณิตศาสตร์มาก แต่มาปีนี้ รู้สึกว่าบทเรียนคณิตศาสตร์น่าเบื่อไม่สนุก ที่เป็นเช่นนี้มีสาเหตุจาก ฉันไม่ชอบครู ครูวางตัวห่างเหินกับนักเรียน
ครูของฉันเมื่อปีที่แล้วเป็นคนมีอารมณ์ขัน พูดตลก ครูอนุญาตให้พวกเรา พูดกันเบา ๆ ในชั้นเรียนได้ ยามใดที่เราไม่ได้กำลัง 'ทำแบบฝึกหัดทบทวน' ครูให้เราทำจากหนังสือ เล่มเล็ก ๆ ซึ่งรวมกันเป็นโมดูล แต่ละโมดูลที่ครูให้ทำนั้นจะมีประมาณ 7-9 เล่ม ครูให้เวลา 4 สัปดาห์ เวลาที่เราทำเสร็จไป 1 เล่ม เราตรวจให้คะแนนด้วยตัวเองกับเฉลยคำตอบ แล้วนำไปให้ครูเซ็นรับรองไว้ ต่อจากนั้นครูจะให้ 'หนังสือทบทวน' และ 'แบบฝึกหัดทบทวน' ที่เกี่ยวข้อง ครูจะตรวจให้คะแนนในส่วน ถ้าเราได้คะแนนน้อยกว่า 7 จาก 10 เราจะต้องทำข้อทดสอบใหม่
แต่ละบทเรียนของเราใช้เวลา 1 ชั่วโมง ครูสอนชั้นปีที่ 7 ของเราบอกว่านานเกินไป ถ้าเราเรียน กันอย่างตั้งใจจริง ๆ แล้วความสนใจจะไม่อยู่ได้ยาว นานขนาดนั้นต้องมีการหยุดพักบ้าง ฉะนั้นพวกเราจึงได้รับอนุญาตให้พักได้ 5 นาที เมื่อเรียนไปถึงครึ่ง บทเรียนแล้ว เนื่องจากเพราะครูของเราใช้วิธี 'ง่าย ๆ และเป็นกันเอง' ทำให้นักเรียนทุกคนอยากเรียนด้วย และเป็นเพราะครูไม่ได้ผลักดันพวกเรา เราต้องผลักดันตัวเราเอง ต้องทำงานมากทั้งในห้องเรียนและทำเป็นการบ้าน
ครูที่สอนปีนี้ (ชั้นปีที่ 8) ไม่เคยพูดตลกเลย (หรือถ้าจะตลกก็เป็นการที่ทำให้ผู้อื่นเสียหน้า) พวกเราจะต้องทำงานกันอย่างเงียบ ๆ กระบวนการทำงานโดยใช้หนังสือเล่มเล็ก ๆ ตรวจให้คะแนน เองแล้วนำไปให้ครูเซ็นรับรอง ทำข้อทดสอบ (แบบฝึกหัดทบทวน) กลายเป็นสิ่งที่น่าเบื่อหน่าย ครูเมื่อปีที่แล้วพวกเราเข้าหาได้ง่าย ครูที่สอนปีนี้ไม่เป็นเช่นนั้นเลย เพื่อนที่นั่งติดกับฉันไม่ชอบครูคนนี้ด้วยเหมือนกัน และว่าครูคนนี้ช่างเป็นคนที่ไม่น่า เข้าหาเอามาก ๆ ถ้าเขาไม่เข้าใจคำถาม หรือเข้าใจ คำถามแต่ทำไม่ได้ เขาจะถามฉันไม่ถามครู ถ้าฉันเกิดทำไม่ได้เหมือนกัน เขาก็จะเดาเอา และถ้าทำคำตอบผิด (หรือผิดแต่เพียงเล็กน้อย) ครูจะทำหน้าพิกล พร้อมอุทานว่า "ผิดอย่างนี้ได้ยังไง"
เราไม่กล้าบอกความจริงว่าถ้าครูเป็นคนที่น่าให้เราเข้าหาปรึกษาได้ เราก็จะไปถามขอความเข้าใจในคำถามที่เราไม่เข้าใจ ครูคนนี้จะเริ่มต้นบทเรียนด้วยคำพูดเดิม ๆ ที่แสดงความไม่พอใจในผลงานที่เราได้ทำส่งที่ครูได้ตรวจเมื่อคืนที่ผ่านมา เพราะครูมีความคิดอยู่ว่าตนเองนั้นได้สอนนักเรียนที่คัดแล้ว! ครูมักจะพูดด้วยถ้อยคำที่เย้ยหยันว่าพวกเราบางคนจะ ต้องระวังตัว มิฉะนั้นหลังจากครึ่งภาคเรียนไปแล้ว อาจถูกลดระดับไปอยู่ในกลุ่มที่ด้อยกว่า คำพูดนี้ยิ่งทำให้นักเรียนที่ไม่ค่อยเชื่อมั่นในตนเองอยู่แล้ว ขาดความเชื่อมั่นยิ่งขึ้น ฉันเองก็มีความไม่เข้าใจบางเรื่องในหนังสือเล่มเล็กเล่มหนึ่งในโมดูลหนึ่ง ฉันก็ไม่กล้าไปถามครู แทนที่จะรวบรวมความกล้าไป ฉันกลับไม่ทำอะไรเสียเลยในชั่วโมงนั้น เมื่อกลับบ้านจึงไปถามแม่ให้ช่วยอธิบาย ฉันใช้เวลา 30 นาที ทำงานนั้น และใช้เวลาอีก 30 นาทีทำการบ้าน
ฉันคิดว่าข้อเขียนนี้ชัดเจนพอสำหรับคำจำกัดความของ 'ครูที่ดี' และ 'ครูที่ไม่พึงปรารถนา'
เรียบเรียงจากเรื่อง'Good' and 'Bad' teachers ในวารสาร MT ฉบับ 161 December 1997

การสอนคณิตศาสตร์ : ถึงเวลาที่จะต้องเปลี่ยนแนวคิดเสียที

ขณะที่เรากำลังย่างเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ยังมีผู้คนอีกเป็นจำนวน มากที่ยังมีความกลัวคณิตศาสตร์ เทคโนโลยีสมัยใหม่เช่นเครื่องคิด เลขที่แสดงกราฟได้ โปรแกรมสำหรับคำนวณเชิงสัญลักษณ์ ฯลฯ ก็ไม่ ได้ช่วยแก้ปัญหาให้คนกลุ่มนี้ได้ ไม่ว่าวิธีการจะเปลี่ยนไปอย่างไร ไม่ มีปัญหาสำหรับพวกที่เรียนเก่งในโรงเรียน แต่สำหรับคนส่วนใหญ่แล้วก็ ยังกลัวหรือไม่ไว้ใจวิชานี้อยู่ดี มีบทความที่ว่าด้วยเรื่อง 'mathephobia' คือโรคกลัวคณิตศาสตร์ อยู่มากมายที่ยืนยันว่า ปัญหาในการให้การศึกษาคณิตศาสตร์ยังมีอยู่ (Maxwell, 1989, Buxton 1981)บางทีอาจถึงเวลาที่ต้องหาวิธีการ ใหม่ ๆ หรือจะต้องมีการปรับหลักสูตรกระมัง เท่าที่เป็นอยู่ในปัจจุบันนักเรียนไม่มีความรู้สึกใดใดในวิชาคณิตศาสตร์และไม่เห็นคุณค่า กลวิธีการแก้ปัญหาต่างๆ ไม่ได้รับการถกแถลงกันในโรงเรียน หลักสูตรไม่ยืดหยุ่น พอที่จะยอมให้นักเรียนได้ พากเพียรคิด และครูก็ได้แต่แสดงวิธี เพียงวิธีเดียวสำหรับผลเฉลย 1 ข้อ เรายังคงยึดติดอยู่แค่ระดับความชำนาญและการเรียนจากสูตร (แม้ว่าดูจะเป็นเรื่องในอดีต) การคิดอย่างแท้จริงทำแค่ผิวเผิน จะมีสักกี่คนที่เข้าใจอย่างแท้จริง ว่าเหตุใดจำนวนลบคูณจำนวนลบ จึงเป็นจำนวนบวก เข้าใจเพียงแค่เป็นกฎที่ครูบอกให้จำ จะมีสักกี่คนที่เข้าใจพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ หรือความคิดเกี่ยวกับลิมิตอย่างแท้จริง เป็นการง่ายเกินไปที่ละเลยในรายละเอียดเหล่านี้ แต่ได้ทำให้หลักที่แท้จริงของคณิตศาสตร์สูญเสียไป ผู้เขียนไม่ได้ต้องการที่จะตำหนิครู เพราะผู้เขียนเองก็ผ่านวิธีการเช่นนี้มาถึง 11 ปี หากแต่ผู้ที่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจหรือคณะกรรมการเกี่ยวกับการสอบ ฯลฯ จะต้องให้ความสนใจและพยายามหาจุดหมายที่เราจะต้องไปให้ถึงในอนาคต มีความงดงามในคณิตศาสตร์ที่จะมองเห็นได้ก็ด้วย ผู้ที่ใฝ่ใจในคณิตศาสตร์เท่านั้น และคนส่วนใหญ่ก็ จะหัวเราะเยาะคำกล่าวนี้ ความงดงามนั้นยากแก่การ ที่จะให้นิยาม แต่สามารถคิดถึงการได้มา ซึ่งความ เป็นระเบียบจากความยุ่งเหยิง หรือได้รับความง่ายจาก ความยากซึ่งสามารถยังให้เกิดขึ้นได้ในวิชาคณิตศาสตร์ ถ้าเราสามารถเปลี่ยนเจตคติของนักเรียนให้มาชื่นชมกับ ความงามได้เมื่อใด เมื่อนั้นเราก็จะอยู่ในภาวะที่น่า พอใจ การพิสูจน์ (ปัจจุบันไม่มีแล้วในสก๊อตแลนด์) เป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการแสดงถึงความงามนี้ เช่น ความเป็นอตรรกยะของแต่ผู้เขียนคิดว่า วิธีสอน 'สมัยใหม่' จะเป็นที่ชื่นชอบของครูเป็นจำนวนมาก ปัจจุบันทฤษฎีบทแฟร์ มาต์ และทฤษฎีสี่สี ได้รับการพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ ในหลายกรณี ซึ่งอาจจะดูว่าเป็นการล้ำสมัย แต่จะมีคนเป็น จำนวนน้อยนิดที่เข้าใจ และผู้เขียนยังสงสัยว่า จะมีใคร สักคนหรือไม่ที่จะยอมรับว่ากรณีต่างๆเหล่านั้นเป็นข้อ พิสูจน์ที่สละสลวย ด้วยการกำจัดแนวคิดเกี่ยวกับการพิสูจน์ออกไป เราได้สูญเสียความเข้าใจอย่างแท้จริงไปในระดับหนึ่ง เป็นการง่ายเกินไปที่จะกล่าวอย่างสั้นๆว่าสูตรหรือความคิดมาจากไหน โดยไม่ได้แสดงเหตุผลอันควร ผลก็คือนักเรียนก็ยังคงอยู่ในความมืดและยังคงถูกทำให้เชื่อว่าสูตรถูกดึงออกมาจากหมวกนั่นเอง เราสามารถที่กล่าวอย่างจริงใจได้หรือไม่ว่าการศึกษาคณิตศาสตร์ประสบความสำเร็จ ผู้เขียนไม่คิดว่าเป็นเช่นนั้น คณิตศาสตร์บริสุทธิ์เป็นจำนวนมากมีประโยชน์ในการนำไปใช้หลังจากที่ได้เรียนมาแล้วเป็นเวลาหลายปี ฉะนั้นอะไรที่เกี่ยวข้อง ณ เวลานี้จึงดูไม่เกี่ยวข้อง เป็นที่น่าเสียใจว่านักเรียนของเราไม่ค่อยได้รับการปลุกเร้าอย่างดีพอในเรื่องนี้ บางทีผู้คนในชุมชนคณิตศาสตร์อาจไม่ต้อง การปรับเปลี่ยนมากนัก 'ความเห่อทางวิชาการ' มี คำตอบให้เป็นจำนวนมาก ผู้เขียนจบการศึกษาจาก ชั้นเรียนที่มีนักเรียน 13 คน ซึ่งฟังแล้วดูดีกว่าชั้นเรียน ที่มี 130 คน การที่ไม่ให้คนส่วนใหญ่ได้แตะต้องคณิตศาสตร์ ทำให้สถานะของคนส่วนน้อยประสบความสำเร็จเพราะได้เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ แท้จริงแล้วชุมชนคณิตศาสตร์ไม่ได้ช่วยตัวเองได้สักเท่าไร อย่างไรก็ดีในฐานะนักคณิตศาสตร์ด้านการศึกษา เราควรพยายามส่งเสริมให้นักเรียนได้ลิ้มลองความคิดใหม่ๆ ได้มองเห็นความงดงามที่มีอยู่ในผลเฉลยอันประณีตนั้น ผู้เขียนใคร่จะขอให้ผู้ที่กำหนดหลักสูตรเปิดโอกาสให้ได้ใช้วิธีสอนคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เพราะเราไม่ต้องการเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ด้วยการเรียนคณิตศาสตร์ที่น่าเบื่อหน่าย ดังที่เป็นอยู่ในหลักสูตรปัจจุบัน เราจะต้องใช้วิธีที่สดชื่นกว่านี้ ซึ่งไม่ใช่ของง่าย แต่มีค่าควรแก่การทำ คณิตศาสตร์ เกิดขึ้นจากคนแล้วเหตุไฉนนักเรียนจึงไม่ค่อยได้ค้นคิด อะไรเกี่ยวกับชีวิตของพวกเขาเลย แน่นอนว่าเวลามีส่วนเกี่ยวข้อง แต่เวลาไม่ใช่คำตอบที่น่าพอใจอีก ต่อไป เราจะต้องมีเวลาที่จะปล่อยให้ความรู้สึกซึมซับ ทางคณิตศาสตร์ได้ค่อยๆพัฒนา ไม่ใช่สัมผัสแต่เพียงผิวเผิน คณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีการนำไปใช้โดยตรง คำประพันธ์ยังเกิดขึ้นเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ คณิตศาสตร์ก็ควรจะเป็นเช่นเดียวกันได้ คือเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ Bertrand Russell (Russell1, 1917) สรุปด้วยคำกล่าวว่า 'คณิตศาสตร์ ถ้ามองอย่างเป็นธรรมแล้วไม่เกี่ยวข้องเฉพาะความจริง เท่านั้น แต่ยังมีความงดงามอย่างยิ่งด้วย'
ส่วนใหญ่แล้วคณิตศาสตร์ในโรงเรียนไม่ค่อย ได้ใช้ประโยชน์นอกเสียจากเพียงเพื่อให้ผ่านการสอบ และผู้เขียนเชื่อว่าครูเป็นจำนวนมากน่าจะผิดหวัง ถ้าสิ่งนี้เป็นเหตุผลสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ ของนักเรียน ฉะนั้นการที่ยินยอมให้นักเรียนได้ ลิ้มลองคุณค่าในเนื้อแท้ซึ่งนักคณิตศาสตร์มีความรู้สึก ว่า สิ่งนี้จะช่วยพวกเขาให้เกิดความเข้าใจในแนวคิดได้ดีขึ้นและช่วยลดความกลัวที่มีอยู่ได้ ถึงแม้ว่าผู้เขียน มิได้ต่อต้านเทคโนโลยีใหม่ๆ แต่ก็ไม่จำเป็นที่เทคโนโลยีเหล่านี้จะต้องเข้าสู่โรงเรียนในระดับชาติโดยสิ้นเชิง ซึ่งถือกันว่าจะช่วยการเรียนของนักเรียน ยังมีเวลาอีกมากในระดับมหาวิทยาลัยที่จะใช้เครื่องจัดการสัญลักษณ์ แต่น่าเสียดายที่มาตรฐานดูเหมือนจะอยู่ในระดับพื้นฐานเท่านั้น ที่ชัดเจนที่สุดคือพื้นฐานทักษะพีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งเป็นประโยชน์ในการพิสูจน์ในหลายกรณี ความกลัวคณิตศาสตร์เกิดขึ้นมาเป็นเวลาหลายทศวรรษแล้ว จงอย่าทำให้คนรุ่นต่อไปในอนาคตเกิดการผิดพลาดในการเรียนคณิตศาสตร์ในทางที่ถูกที่ควรอีกต่อไป คณิตศาสตร์มิใช่เพียงแค่การสร้างองค์ความรู้เท่านั้น แต่เป็นการสร้างเจตคติ และความเชื่อต่างๆด้วย จนกว่าเมื่อไรที่เราจะสามารถ เปลี่ยนความคิดให้เป็นเช่นนี้ได้ คณิตศาสตร์จะเป็นวิชาสำหรับคนหมู่น้อยเท่านั้น

เก็บความจากเรื่อง
Time for a Change ของ N. Grant Macleod ในวารสาร Mathematics in School ฉบับเดือน March 1998 หน้า 6 - 7

6 เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ เคล็ดลับสำหรับเด็กเกลียดเลข

6 เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ เคล็ดลับสำหรับเด็กเกลียดเลข

คอลัมน์....โรงเรียนในฝัน

วันจันทร์ ที่ 29 สิงหาคม 2548 สถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) นำทีมโดย ศ.ดร.ศรียา นิยมธรรม รองประธานสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) จัดประชุมเชิงปฏิบัติการ เรื่อง “เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์เด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์” ขึ้น ณ ห้องประชุมสำนักหอสมุดกลาง ชั้น 8 มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ
งานนี้สืบเนื่องมาจากสัปดาห์ที่มีการคัดกรองเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ว่าเด็กแต่ละคนมีความบกพร่องทางด้านใด เมื่อได้แล้วก็เข้าสู่กระบวนการช่วยเหลือ ซึ่งทางสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ จัดประชุมเชิงปฏิบัติการเทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ให้แก่ครูผู้สอน นางสาวพัชรินทร์ เสรี นิสิตระดับปริญญาเอก สาขาการศึกษาพิเศษ คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บอกว่างานในช่วงเช้าของวันที่ 29 สิงหาคม 2548 จะมีการบรรยายเรื่อง “ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้”ในช่วงบ่ายจะเข้าสู่การบรรยายเทคนิควิธีการสอนเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์
“เด็กที่มีความบกพร่องทางด้านคณิตศาสตร์ ความรู้ด้านคณิตศาสตร์จะไม่ได้ตามวัยของเด็ก อย่างเช่นการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนต่างๆ เด็กจะไม่รู้ตามวัยที่ควรจะรู้”

ส่วนเทคนิคที่จะนำมาสาธิตให้ครูที่เข้าร่วมการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งนี้ได้เรียนรู้ มีทั้งสิ้น 6 วิธีซึ่งใช้ได้ผลในเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ประกอบด้วย
1.ใช้การละเล่นพื้นบ้าน ใช้เกมการละเล่นพื้นบ้านมาสอนเด็ก ซึ่งจะสอนเรื่องการเปรียบเทียบ การวัดระยะทาง การบวกลบคูณหาร
2.สอนเทคนิคการอ่านโจทย์เลข เด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้จะอ่านโจทย์เลขไม่ได้ ซึ่งจะอ่านไม่เข้าใจ ไม่รู้ว่าโจทย์ถามอะไร หมายความอย่างไร เมื่ออ่านโจทย์ไม่ได้ก็จะส่งผลถึงการคิดเลขด้วย ซึ่งเราจะใช้วิธีการทางกราฟิกเข้ามาช่วยในการอ่านโจทย์ปัญหา
3.ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เน้นคำถามเชิงเปรียบเทียบและคำถามเชิงเหตุผลแต่ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เราอาจจะสอนเด็กด้วยการปั้นหุ่นยนต์ซึ่งอาจจะมีอุปกรณ์เป็นดินน้ำมันหรือแป้งโด กระดาษ จากนั้นคุณครูอาจบอกว่า มีแป้งโดกับกระดาษ และถ้านำของสองสิ่งนี้ไปวางที่ประตูแล้วมีลมพัดมา นักเรียนคิดว่าระหว่างแป้งโดกับกระดาษอะไรจะปลิวไป นักเรียนที่มีปัญหาด้านความบกพร่องทางการเรียนรู้จะเปรียบเทียบไม่ได้ว่าอะไรหนักหรือเบากว่ากัน ลักษณะการสอนเช่นนี้เป็นการสอนเปรียบเทียบและต้องสอนต่อว่าถ้ากระดาษปลิวเพราะอะไร
4.การอ่านการ์ตูน เราต้องทำเป็นเรื่องราวสอนเกี่ยวกับตัวเลข บวก ลบ คูณหารเด็กจะสนุกกับภาพการ์ตูนและจะเรียนรู้ได้มากขึ้น
5.การเล่นบทบาทสมมติ อาจจะให้เด็กนักเรียนในชั้นออกมานับหนังสือ 20 เล่ม จากนั้นให้เพื่อนออกมาหน้าชั้นเรียนอีก 5 คน นักเรียนคิดว่าจะได้คนละกี่เล่ม จากนั้นเด็กก็จะเริ่มแจกจนหนังสือหมด แล้วเด็กจะได้คำตอบเป็นการสอนเรื่องการหาร
6.เกม ซึ่งจะใช้เกมเศรษฐีและการทอยลูกเต๋า เป็นการสอนเรื่องตัวเลข เด็กจะรู้ว่าแต้มไหนมากกว่าแต้มไหนน้อยกว่า
การสอนวิชาการเพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้ผลกับเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ เด็กจะชอบความสนุกต้องออกแบบการเรียนการสอนที่เน้นทั้งการเรียนและการเล่นให้อยู่ด้วยกัน การเรียนลักษณะนี้เป็นรูปธรรมชัดเจน เด็กจะเข้าใจง่ายเรียนรู้ได้เร็ว สิ่งที่น่าห่วงก็คือ ครูไทยบางคนไม่ชอบการปรับการเรียนการสอน บางคนติดอยู่กับขั้นตอนมากเกินไป และจะไม่สนุกในการทำกิจกรรมกับเด็กแต่ถ้าเป็นครูที่เข้าใจและสอนไปเล่นไปก็จะสอนเด็กกลุ่มนี้ได้ดี "ณ ปัจจุบันนี้คิดว่าพอจะมีครูที่เข้าใจเด็กและสอนด้วยความเข้าใจว่าเด็กมีความหลากหลาย ต้องปรับวิธีการสอนให้หลากหลายมากขึ้น คิดว่ามีมากขึ้นกว่าในอดีต และวิธีการสอนเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ก็เป็นอีกวิธีการหนึ่งที่ครูไทยควรจะได้เรียนรู้เพื่อปรับใช้ในการสอนต่อไป”

โดย ทีมวิชาการ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว.)
ที่มาผู้จัดการออนไลน์ วันจันทร์ที่ 29 สิงหาคม 2548